Question

15．下列四个命题：
①若0＞a＞b，则$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$；②x＞0，$x+\frac{1}{x-1}$的最小值为3；
③椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$比椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$更接近于圆；
④设A，B为平面内两个定点，若有|PA|+|PB|=2，则动点P的轨迹是椭圆；
其中真命题的序号为①③．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 由不等式的性质说明①是真命题；举例说明②是假命题；求出两椭圆的离心率说明③是真命题；利用椭圆定义知a，c的关系说明④是假命题．

解答 解：①若0＞a＞b，则ab＞0，$\frac{1}{ab}＞0$，∴$\frac{a}{ab}＞\frac{b}{ab}$，即$\frac{1}{a}＜\frac{1}{b}$．故①是真命题；
②取x=$\frac{1}{2}$，满足x＞0，此时$x+\frac{1}{x-1}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{\frac{1}{2}-1}=-\frac{3}{2}$．故②是假命题；
③椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的离心率为$\frac{1}{2}$，椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$\frac{1}{2}＜\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$比椭圆$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$更接近于圆．故③是真命题；
④当|AB|≥2时，虽有|PA|+|PB|=2为定值，但动点P的轨迹不是椭圆．故④是假命题．
故答案为：①③．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了不等式的性质，考查函数值域的求法，考查椭圆的定义及简单性质，是基础题．