Question

14．如图，在空间四边形ABCD中，E是线段AB的中点．
（1）若CF=2FD，连接EF，CE，AF，BF化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
①$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{BD}$；
②$\overrightarrow{AF}$-$\overrightarrow{BF}$-$\overrightarrow{AC}$；
③$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CD}$；
（2）若F为CD的中点，求证：$\overrightarrow{EF}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{BC}$）．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的加减运算的几何意义化简；
（2）取BD中点G，利用中位线定理及三角形法则证明．

解答 解：（1）①$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$；②$\overrightarrow{AF}$-$\overrightarrow{BF}$-$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FB}-\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{CB}$；③$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CF}$=$\overrightarrow{EF}$．
（2）取BD中点G，连接EG，FG，则$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GF}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$．

点评 本题考查了平面向量的线性运算及其几何意义，是基础题．