Question

函数y=f（x）图象上不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）处的切线的斜率分别是k_A，k_B，规定φ（A，B）=

|kA-kB|

|AB|

叫曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：
（1）函数y=x³-x²+1图象上两点A、B的横坐标分别为1，2，则φ（A，B）＞

3

；
（2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；
（3）设点A、B是抛物线，y=x²+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2；
（4）设曲线y=e^x上不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁-x₂=1，若t•φ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（-∞，1）；
以上正确命题的序号为

 

（写出所有正确的）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：由新定义，利用导数逐一求出函数y=x³-x²+1、y=x²+1在点A与点B之间的“弯曲度”判断（1）、（3）；举例说明（2）正确；求出曲线y=e^x上不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）之间的“弯曲度”，然后结合t•φ（A，B）＜1得不等式，举反例说明（4）错误．

解答： 解：对于（1），由y=x³-x²+1，得y′=3x²-2x，
则kA=y′|x=1=1，kB=y′|x=2=8，
y₁=1，y₂=5，则|AB|=

(2-1)2+(5-1)2

=

17

，
φ（A，B）=

|kA-kB|

|AB|

=

|8-1|

17

=

7

17

＜

3

，（1）错误；
对于（2），常数函数y=1满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确；
对于（3），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），y′=2x，
则k_A-k_B=2x₁-2x₂，|AB|=

(x1-x2)2+(x12-x22)2

=

(x1-x2)2[1+(x1+x2)2]

=|x1-x2|

1+(x1+x2)2

．
∴φ（A，B）=

|kA-kB|

|x1-x2| 1+(x1+x2)2

=

2|x1-x2|

|x1-x2| 1+(x1+x2)2

≤

2

1

=2，（3）正确；
对于（4），由y=e^x，得y′=e^x，φ（A，B）=

|ex1-ex2|

(x1-x2)2+(ex1-ex2)2

=

|ex1-ex2|

1+(ex1-ex2)2

．
t•φ（A，B）＜1恒成立，即t|ex1-ex2|＜

1+(ex1-ex2)2

恒成立，t=1时该式成立，∴（4）错误．
故答案为：（2）（3）．

点评：本题是新定义题，考查了命题的真假判断与应用，考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，考查了函数恒成立问题，关键是对题意的理解，是中档题．