Question

在平面直角坐标系xOy中设锐角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（x₁，y₁），将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转

π

2

后与单位圆交于点Q（x₂，y₂）记f（α）=y₁+y₂
（1）求函数f（α）的值域；
（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=

2

，且a=

2

，c=1，求b．

Answer 1

考点：任意角的三角函数的定义,直线与圆的位置关系

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据三角函数的定义求出函数f（α）的表达式，即可求出处函数的值域；
（2）根据条件求出C，根据余弦定理即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）由三角函数定义知，y₁=sinα，y₂=sin（α+

π

2

）=cosα，
f（α）=y₁+y₂=cosα+sinα=

2

sin（α+

π

4

），
∵角α为锐角，
∴

π

4

＜α+

π

4

＜

3π

4

，
∴

2

2

＜sin（α+

π

4

）≤1，
∴1＜

2

sin（α+

π

4

）≤

2

，
则f（α）的取值范围是（1，

2

]；
（Ⅱ）若f（C）=

2

，且a=

2

，c=1，
则f（C）═

2

sin（C+

π

4

）=

2

，
即sin（C+

π

4

）=1，
则C=

π

4

，
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，
即1=2+b²-2

2

×

2

2

b，
则b²-2b+1=0，
即（b-1）²=0，
解得b=1．

点评：本题主要考查三角函数的定义以及余弦定理的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．