Question

下列叙述：
①函数y=

1

x

在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数；
②已知集合P={a，b}，Q={-1，0.1}，则映射f：P→Q中满足f（b）=0的映射共有3个；
③对于函数f（x）=-x²+1，当x₁≠x₂时，都有

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)；
④若函数f（x）=

(2-m)x+ 1 2 (x＜1) mx(x≥1)

在R上是增函数，则m的取值范围是1＜m＜2；
其中正确的所有番号是：

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：举例说明①错误；由映射概念说明②正确；f（x）=-x²+1，x₁≠x₂，利用作差法能够比较

f(x1)+f(x2)

2

和f（

x1+x2

2

）的大小说明③正确；由增函数的概念列不等式组求解m的范围说明④错误．

解答： 解：①函数y=

1

x

在（-∞，0）∪（0，+∞）上是减函数错误，如1＞-1，f（1）＞f（-1）；
②已知集合P={a，b}，Q={-1，0.1}，则映射f：P→Q中满足f（b）=0的映射共有3个正确，原因是f（b）=0一定，而f（a）可以对应-1、0、1有三种对应法；
③对于函数f（x）=-x²+1，当x₁≠x₂时，都有

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)正确．
∵f（x）=-x²+1，x₁≠x₂，
∴

f(x1)+f(x2)

2

-f（

x1+x2

2

）=

-x12+1-x22+1

2

-[-(

x1+x2

2

)2+1]=

x12+2x1x2+x22

4

-

x12+x22

2

＜0，
∴

f(x1)+f(x2)

2

＜f（

x1+x2

2

），故③正确；
④若函数f（x）=

(2-m)x+ 1 2 (x＜1) mx(x≥1)

在R上是增函数，则

2-m＞0 m＞1 m≥2-m+ 1 2

，解得

5

4

≤m＜2，命题④错误．
故答案为：②③．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了函数的性质及其应用，是中档题．