Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），等差数列{b_n}中，公差d=2，且b₁+b₂+b₃=15．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）a_n+1=2S_n+1⇒a_n=2S_n-1+1（n≥2，n∈N^*），两式相减，可得a_n+1=3a_n（n∈N^*），从而可得数列{a_n}的通项公式；由等差数列{b_n}中，公差d=2，且b₁+b₂+b₃=15可求得{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n•b_n=（2n+1）×3^n-1，利用错位相减法即可求得数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ））∵a_n+1=2S_n+1（n≥1，n∈N^*），∴a_n=2S_n-1+1（n≥2，n∈N^*），
∴a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2，n∈N^*），…2分
又a₁=1，a₂=2a₁+1=3，
∴a₂=3a₁，∴a_n+1=3a_n（n∈N^*）．
∵a₁=1，∴数列{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列，
∴a_n=3^n-1（n∈N^*）…4分
∵b₁+b₂+b₃=15，∴b₂=5，又d=2，∴b₁=b₂-d=3，…6分
∴b_n=3+2（n-1）=2n+1…7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，T_n=3×1+5×3+7×3²+…+（2n-1）×3^n-2+（2n+1）×3^n-1，①
3T_n=3×3+5×3²+7×3³+…+（2n-1）×3^n-1+（2n+1）×3ⁿ，②
∴①-②得：-2T_n=3×1+2×3+2×3²+…+2×3^n-1-（2n+1）×3ⁿ
=3+2（3+3²+3³+…+3^n-1）-（2n+1）×3ⁿ
=3+2×

3(1-3n-1)

1-3

-（2n+1）×3ⁿ…10分
=-2n•3ⁿ…11分
∴T_n=n•3ⁿ（n∈N^*）…12分

点评：本题考查等比数列关系的确定与等差数列通项公式的应用，突出考查错位相减法求和，考查综合运算与求解能力，属于难题．