Question

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等差数列，有下列四个结论：①b²≥ac；②$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}≥\frac{2}{b}$；③${b^2}≤\frac{{{a^2}+{c^2}}}{2}$；④$B∈（{0，\frac{π}{3}}]$．其中正确的结论序号为①②③④．

Answer 1

分析 根据题意a，b，c成等差数列，可得2b=a+c．依次对各选项进行判断．

解答 解：由题意：a，b，c成等差数列，可得2b=a+c．
对于①：∵2b=a+c，∴a+c≥2$\sqrt{ac}$，即b≥$\sqrt{ac}$，可得b²≥ac，∴①对；
对于②：$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{a+c}{ac}$，∵2b=a+c，∴a+c≥2$\sqrt{ac}$，可得$\frac{1}{a}+\frac{1}{c}≥\frac{2}{b}$；，∴②对；
对于③：${b^2}≤\frac{{{a^2}+{c^2}}}{2}$，∵a²+c²≥$（\frac{a+c}{2}）^{2}$，2b=a+c，可得：${b^2}≤\frac{{{a^2}+{c^2}}}{2}$，∴③对；
对于④：a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，可得2sinB=sinA+sinC，∵A+B+C=π，
可得：B≤$\frac{π}{3}$．∴④对．
故答案为：①②③④．

点评 本题考查了基本不等式的性质、等差数列的基本性质．考查了计算能力，属于基础题．