Question

13．已知等比数列{a_n}的公比q＞1，a₁=1，且a₁，a₃，a₂+14成等差数列，数列{b_n}满足a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•3ⁿ+1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=（-1）ⁿ$\frac{4n}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式、递推关系即可得出．
（2）c_n=（-1）ⁿ•$\frac{4n}{（2n-1）（2n+1）}$=（-1）ⁿ$（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$，对n分类讨论即可得出．

解答 解：（1）等比数列{a_n}的公比q＞1，a₁=1，且a₁，a₃，a₂+14成等差数列，
∴2q²=1+q+14，解得q=3，
∴a_n=3^n-1．
∵数列{b_n}满足a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=（n-1）•3ⁿ+1（n∈N^*）．
∴n=1时，a₁b₁=1，解得b₁=1．
n≥2时，a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•3^n-1+1，
可得：a_nb_n=（2n-1）•3^n-1，∴b_n=2n-1．（n=1时也成立）．
∴b_n=2n-1．
（2）c_n=（-1）ⁿ$\frac{4n}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=（-1）ⁿ•$\frac{4n}{（2n-1）（2n+1）}$=（-1）ⁿ$（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$，
∴n=2k（k∈N^*）时，数列{c_n}的前n项和T_n=-$（1+\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}+\frac{1}{5}）$+…-$（\frac{1}{2n-3}+\frac{1}{2n+1}）$+$（\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{1}{2n+1}-1$=$\frac{-2n}{2n+1}$．
n=2k-1（k∈N^*）时，数列{c_n}的前n项和T_n=T_n+1-c_n+1=$\frac{-2（n+1）}{2n+3}$-$（\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+3}）$=-$\frac{2n+2}{2n+1}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2n}{2n+1}，n为偶数}\\{-\frac{2n+2}{2n+1}，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、等差数列与等比数列的通项公式、递推关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．