Question

18．已知$\vec a=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx，2cosx）$，$\vec b=（2cosx，\frac{1}{2}cosx）$，记函数$f（x）=\vec a•\vec b+m$
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）如果函数f（x）的最小值为1，求m的值，并求此时f（x）的最大值及图象的对称轴方程．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积公式得出f（x）的解析式，并利用二倍角公式化简，根据周期公式计算周期；
（2）根据正弦函数的性质列方程得出m，从而得出f（x）的最大值和对称轴．

解答 解：（1）$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx+{cos^2}x+m$，
∴$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}+m$=$sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}+m$，
所以最小正周期T=π，
（2）∵f（x）的最小值为1，∴$-1+\frac{1}{2}+m=1$，
解得$m=\frac{3}{2}$，
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+2，∴f_max（x）=3．
令$2x+\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$，解得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}（k∈Z）$，
故函数f（x）的图象的对称轴方程为$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}（k∈Z）$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换，正弦函数的性质，属于中档题．