Question

17．已知函数y=f（x）是定义在[-4，4]上的偶函数，且f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}-9，0≤x≤4}\\{g（x），-4≤x＜0}\end{array}\right.$，则不等式（1-2x）g（log₂x）＜0的解集用区间表示为（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 利用函数的奇偶性求函数g（x）的解析式，再利用g（x）得单调性解对数不等式，求得x的范围．

解答 解：函数y=f（x）是定义在[-4，4]上的偶函数，
且f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{x}-9，0≤x≤4}\\{g（x），-4≤x＜0}\end{array}\right.$，则g（x）=3^-x-9，故g（x）的零点为-2．
由不等式（1-2x）g（log₂x）＜0，可得$\left\{\begin{array}{l}{1-2x＜0}\\{g（_{log2}x）＞0}\end{array}\right.$ ①，或$\left\{\begin{array}{l}{1-2x＞0}\\{g{（log}_{2}x）＜0}\end{array}\right.$②．
由①可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞\frac{1}{2}}\\{{-4≤log}_{2}x＜-2}\end{array}\right.$，∴x∈∅．
由②可得$\left\{\begin{array}{l}{x＜\frac{1}{2}}\\{{-2＜log}_{2}x≤0}\end{array}\right.$，∴$\frac{1}{4}$＜x＜$\frac{1}{2}$，
故答案为：（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，解对数不等式，属于中档题．