Question

10．二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如表的对应数据：

使用年数	2	4	6	8	10
售价	16	13	9.5	7	4.5

（1）试求y关于x的回归直线方程；（参考公式：$\hat b$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a$=y-$\hat b\overline x$）
（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为w=0.01x³-0.09x²-1.45x+17.2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润L（x）最大？（利润=售价-收购价）

Answer 1

分析 （1）由表中数据计算b，a，即可写出回归直线方程；
（2）写出利润函数L（x）=y-w，利用导数求出x=6时L（x）取得最大值．

解答 解：（1）由已知：$\overline x=6$，$\overline y=10$，…（2分）
$\sum_{i=1}^5{x_i}{y_i}=242$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}=220$，$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^5{x_i}{y_i}-5\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}-5{{\overline x}^2}}}=-1.45$，…（4分）
$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=18.7$
所求线性回归直线方程为$\hat y=-1.45x+18.7$…（6分）
（2）L（x）=y-w=-1.45x+18.7-（0.01x³-0.09x²-1.45x+17.2）=-0.01x³+0.09x²+1.5（0＜x≤10）…（8分）
L′（x）=-0.03x²+0.18x=-0.03x（x-6）…（9分）
x∈（0，6）时，L′（x）＞0，L（x）单调递增，x∈（6，10]时，L′（x）＜0，L（x）单调递减…（11分）
所以预测x=6时，销售一辆该型号汽车所获得的利润L（x）最大．…（12分）

点评 本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，也考查了利用导数求最值，属于中档题．