Question

19．已知函数f（x）的定义域是R，f（0）=2，若对任意{x∈R，f（x）+f′（x）＜1}，则不等式e^xf（x）＜e^x+1的解集为（0，+∞）．

Answer 1

分析 令g（x）=e^xf（x）-e^x-1，利用导数可判断函数g（x）的单调性，由已知条件可得函数g（x）的零点，由此可解得不等式．

解答 解：令g（x）=e^xf（x）-e^x-1，则g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f（x）+f′（x）＞1，
∴f（x）+f′（x）-1＞0，
∴g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，
又f（0）=2，∴g（0）=e⁰f（0）-e⁰-1=2-1-1=0，
故当x＞0时，g（x）＞g（0），即e^xf（x）-e^x-1＞0，整理得e^xf（x）＞e^x+1，
∴e^xf（x）＞e^x+1的解集为（0，+∞）．
故答案为：（0，+∞）

点评 本题考查函数单调性的性质及其应用，考查抽象不等式的求解，考查导数与函数单调性的关系，综合性较强，属于中档题．