Question

11．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠BAC=90°，AB=AC=1，BB₁=2，∠ABB₁=60°．
（1）证明：AB⊥B₁C；
（2）若B₁C=2，求三棱锥B₁-CC₁A的体积．

Answer 1

分析 （1）通过证明AB⊥平面AB₁C，来证明：AB⊥B₁C；
（2）利用等体积转化求三棱锥B₁-CC₁A的体积．

解答 （1）证明：在△ABB₁中，∵$AB_1^2=A{B^2}+BB_1^2-2AB•B{B_1}•cos∠AB{B_1}=3$
∴$A{B_1}=\sqrt{3}$．
又AB=1，BB₁=2，∴由勾股定理的逆定理，得△ABB₁为直角三角形．
∴B₁A⊥AB．
又CA⊥AB，CA∩B₁A=A，
∴AB⊥平面AB₁C．
∵B₁C?平面AB₁C
∴AB⊥B₁C
（2）解：由题意，${V_{{B_1}-C{C_1}A}}={V_{B-C{C_1}A}}={V_{{C_1}-ABC}}={V_{{B_1}-ABC}}$．
在△AB₁C中，∵${B_1}C=2，A{B_1}=\sqrt{3}，AC=1$，
则由勾股定理的逆定理，得△AB₁C为直角三角形，∴B₁A⊥AC．
又B₁A⊥AB，AB∩AC=A，∴B₁A⊥平面ABC．
∴B₁A为三棱锥B₁-ABC的高．
∴${V_{{B_1}-C{C_1}A}}={V_{{B_1}-ABC}}=\frac{1}{3}•{S_{△ABC}}•{B_1}A=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$

点评 本题考查了线面垂直的性质与判定，棱锥的体积计算，属于中档题．