Question

6．如图1，已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，M，N，Q分别是线段AD₁，B₁C，C₁D₁上的动点，当三棱锥Q-BMN的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN的体积为（　　）

• A． $\frac{1}{2}{a^3}$
• B． $\frac{1}{4}{a^3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}{a^3}$
• D． $\frac{1}{12}{a^3}$

Answer 1

分析 由三棱锥Q-BMN的俯视图可得Q在D₁，N在C，M为D₁A的中点，利用三棱锥的体积公式即可求出三棱锥Q-BMN的体积．．

解答 解：由三棱锥Q-BMN的俯视图可得Q在D₁，N在C，M为D₁A的中点，
∴S_△QBN=$\frac{1}{2}•\sqrt{2}a•a$=$\frac{\sqrt{2}}{2}{a}^{2}$，
M到平面QBN的距离为：$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}a$=$\frac{\sqrt{2}a}{4}$，
∴三棱锥Q-BMN的体积为$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{2}}{2}{a}^{2}•\frac{\sqrt{2}a}{4}$=$\frac{1}{12}{a}^{3}$，
故选：D．

点评 本题考查三棱锥Q-BMN的体积，考查学生的计算能力，由三棱锥Q-BMN的俯视图可得Q在D₁，N在C，M为D₁A的中点是关键．