Question

1．如图所示的五面体ABCDFE中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，AD⊥平面ABEF，且AD=1，AB=$\frac{1}{2}$EF=2$\sqrt{2}$，AF=BE=2，P、Q分别为AE、BD的中点．
（Ⅰ） 求证：PQ∥平面BCE；
（Ⅱ） 求二面角A-DF-E的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AC，推导出PQ∥EC，由此能证明PQ∥平面BCE．
（Ⅱ）取EF的中点M，则AF⊥AM，以A为坐标原点，以AM，AF，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-DF-E的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连接AC，∵四边形ABCD是矩形，且Q为BD的中点，
∴Q为AC的中点，
又在△AEC中，P为AE的中点，∴PQ∥EC，
∵EC?面BCE，PQ?面BCE，
∴PQ∥平面BCE…（5分）
解：（Ⅱ）如图，取EF的中点M，则AF⊥AM，
以A为坐标原点，以AM，AF，AD所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则A（0，0，0），D（0，0，1），M（2，0，0），F（0，2，0）．
$\overrightarrow{AM}$=（2，0，0），$\overrightarrow{MF}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{DF}$=（0，2，-1）…（7分）
设平面DEF的法向量为n=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MF}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=2y-z=0}\end{array}\right.$，令x=1，则y=1，z=2，故$\overrightarrow{n}$=（1，1，2）是平面DEF的一个法向量…（9分）
∵AM⊥面ADF，∴$\overrightarrow{AM}$=（2，0，0）为平面ADF的一个法向量．
∴cos＜n，$\overrightarrow{AM}$＞=$\frac{n•\overrightarrow{AM}}{|n|•|\overrightarrow{AM}|}$=$\frac{2×1+0×1+0×2}{\sqrt{6}×2}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$．…（11分）
由图可知所求二面角为锐角，
∴二面角A-DF-E的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．