题目内容
设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0的两个根x1，x2满足0＜x1＜x2＜
．当x∈（0，x1）时，证明x＜f（x）＜x1．
| 1 |
| a |
考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系
专题：计算题
分析：在已知方程f（x）-x=0两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数f（x）-x的表达式，从而得到函数f（x）的表达式．
解答：
证明：由题意可知f（x）-x=a（x-x1）（x-x2）．∵0＜x＜x1＜x2＜
，
∴a（x-x1）（x-x2）＞0，
∴当x∈（0，x1）时，f（x）＞x．
又f（x）-x1=a（x-x1）（x-x2）+x-x1=（x-x1）（ax-ax2+1），
∵x-x1＜0，且ax-ax2+1＞1-ax2＞0，
∴f（x）＜x1，
综上可知，所给问题获证．
| 1 |
| a |
∴a（x-x1）（x-x2）＞0，
∴当x∈（0，x1）时，f（x）＞x．
又f（x）-x1=a（x-x1）（x-x2）+x-x1=（x-x1）（ax-ax2+1），
∵x-x1＜0，且ax-ax2+1＞1-ax2＞0，
∴f（x）＜x1，
综上可知，所给问题获证．
点评：本题主要利用函数与方程根的关系，写出二次函数的零点式y=a（x-x1）（x-x2）是解决本题的关键．
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