Question

已知cosα+cosβ+cosγ=0，且sinα+sinβ+sinγ=0．求cos2（α-β）+cos2（β-γ）+cos2（γ-α）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：计算题

分析：对已知式移项变形，然后平方和，利用两角差的余弦函数求出cos（α-β）=-

1

2

，cos（β-γ）=-

1

2

，cos（γ-α）=-

1

2

，通过二倍角公式，即可求出所求数值．

解答： 解：sinα+sinβ=-sinγ，sin²α+sin²β+2sinαsinβ=sin²γ…①，
γcosα+cosβ=-cosγ，cos²α+cos²β+2cosαcosβ=cos²γ…②，
①+②得：2+2sinαsinβ+2cosαcosβ=1，cos（α-β）=-

1

2

，
同理可得：cos（β-γ）=-

1

2

，cos（γ-α）=-

1

2

；
cos2（α-β）+cos2（β-γ）+cos2（γ-α）=-3+2[cos²（α-β）+cos²（β-γ）+cos²（γ-α）]=-

3

2

．

点评：本题是中档题，考查三角函数的恒等变形，两角和与差的三角函数，公式的正确应用的解题关键．