Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，直线x=

a2

c

与双曲线的两条渐近线分别交于A、B两点（A在B的上方），P是C上任意一点，

OP

=λ

OA

+μ

OB

（λ、μ∈R），则λμ=（　　）

• A、

  1

  2

• B、1
• C、2
• D、

  2

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由题意可得c=2a，从而化简3x²-y²=3a²，A（

a

2

，

1

2

3

a），B（

a

2

，-

1

2

3

a），P（

a

2

（λ+μ），

3

2

（λ-μ）a）；代入即可求出．

解答： 解：由题意可得，

c

a

=2，
故c=2a，
故双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1可化为3x²-y²=3a²，
渐近线方程为

3

x±y=0，
直线x=

a2

c

=

a

2

，
故A（

a

2

，

1

2

3

a），B（

a

2

，-

1

2

3

a），
则由

OP

=λ

OA

+μ

OB

可得，
P（

a

2

（λ+μ），

3

2

（λ-μ）a）；
则3（

a

2

（λ+μ）a）²-（

3

2

（λ-μ）a）²=3a²，
解得，λμ=1．
故选B．

点评：本题考查了圆锥曲线的定义及应用，属于基础题．