Question

在等差数列{a_n}中，a₃=5，a₂+2a₅=21．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n，若S₃，S_k，S₁₂成等比数列，求k的值．

Answer 1

考点：等差数列的前n项和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，可得首项和公差的方程组，解方程组可得通项公式；（II）由（I）可得S_n=n²，由S₃，S_k，S₁₂成等比数列可得k的方程，解方程可得．

解答： 解：（I）设等差数列{a_n}的公差为d，
则

a3=a1+2d=5 a2+2a5=3a1+9d=21

，
解方程组可得a₁=1，d=2
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1
（II）由（I）S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=

n(1+2n-1)

2

=n²，
∵S₃，S_k，S₁₂成等比数列，
∴Sk2=S₃•S₁₂，即（k²）²=3²×12²，解得k=6

点评：本题考查等差数列，涉及通项公式和求和公式，属基础题．