Question

设F₁，F₂是椭圆

4x2

49

+

y2

6

=1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF₁|：|PF₂|=4：3，则△PF₁F₂的面积为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据椭圆方程，得a=

7

2

，b=

6

，c=2.5．得椭圆的焦点为F₁（-2.5，0），F₂（2.5，0），由椭圆的定义结合|PF₁|：|PF₂|=4：3，得|PF₁|=4，|PF₂|=3，结合勾股定理的逆定理得△PF₁F₂是以P为直角顶点的直角三角形，由此不难得到△PF₁F₂的面积．

解答： 解：∵椭圆的方程为

4x2

49

+

y2

6

=1，
∴a=

7

2

，b=

6

，c=2.5．
得椭圆的焦点为F₁（-2.5，0），F₂（2.5，0），
∵|PF₁|+|PF₂|=2a=7，且|PF₁|：|PF₂|=4：3，
∴|PF₁|=4，|PF₂|=3，
可得|PF₁|²+|PF₂|²=25=|F₁F₂|²，
因此，△PF₁F₂是以P为直角顶点的直角三角形，
得△PF₁F₂的面积S=

1

2

|PF₁|•|PF₂|=6
故答案为：6．

点评：本题给出椭圆的两条焦半径的比值，求焦点三角形的面积，着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．