题目内容
已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）的定义域为R．
（1）当θ=0时，求f（x）的单调递增区间；
（2）若θ∈（0，π），且sinx≠0，当θ为何值时，f（x）为偶函数？
（1）当θ=0时，求f（x）的单调递增区间；
（2）若θ∈（0，π），且sinx≠0，当θ为何值时，f（x）为偶函数？
考点：两角和与差的正弦函数
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）当θ=0时，利用辅助角公式求出f（x）的表达式，即可求出函数的单调递增区间；
（2）利用辅助角公式，求出函数f（x）的表达式，利用三角函数的图象和性质即可得到结论．
（2）利用辅助角公式，求出函数f（x）的表达式，利用三角函数的图象和性质即可得到结论．
解答：
解：（1）当θ=0时，f（x）=sinx+cosx=
sin(x+
)，
由-
+2kπ≤x+
≤
+2kπ，
解得-
+2kπ≤x≤
+2kπ，
即求f（x）的单调递增区间是[-
+2kπ，
+2kπ]，k∈Z；
（2）f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）=
sin(x+θ+
)，
若f（x）为偶函数，则θ+
=
+kπ，
即θ=
+kπ，k∈Z，
若θ∈（0，π），且sinx≠0，
∴当k=0时，θ=
．
| 2 |
| π |
| 4 |
由-
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
解得-
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
即求f（x）的单调递增区间是[-
| 3π |
| 4 |
| π |
| 4 |
（2）f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）=
| 2 |
| π |
| 4 |
若f（x）为偶函数，则θ+
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
即θ=
| π |
| 4 |
若θ∈（0，π），且sinx≠0，
∴当k=0时，θ=
| π |
| 4 |
点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式求出函数f（x）的表达式是解决本题的关键．
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