Question

如图所示，已知圆C：（x+1）²+y²=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P是线段AM的垂直平分线与直线CM的交点．
（1）求点P的轨迹曲线E的方程；
（2）设点P（x₀，y₀）是曲线E上任意一点，写出曲线E在点P（x₀，y₀）处的切线l的方程；（不要求证明）
（3）直线m过切点P（x₀，y₀）与直线l垂直，点C关于直线m的对称点为D，证明：直线PD恒过一定点，并求定点的坐标．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）利用点P是线段AM的垂直平分线与直线CM的交点，可得PA=PM，从而可得PA+PC=PM+PC，利用椭圆的定义，即可求点P的轨迹曲线E的方程；
（2）曲线E在点P（x₀，y₀）处的切线l的方程是

x0x

2

+y0y=1；
（3）直线m的方程为x₀（y-y₀）=2y₀（x-x₀），即2y₀x-x₀y-x₀y₀=0．求出点C关于直线m的对称点D的坐标，确定直线PD的方程，化简即可得出结论．

解答： （1）解：∵点P是线段AM的垂直平分线与直线CM的交点，
∴PA=PM，
∴PA+PC=PM+PC=2

2

＞AC=2，
∴动点N的轨迹是以点C（-1，0），A（1，0）为焦点的椭圆．
椭圆长轴长为2a=2

2

，焦距2c=2，
∴a=

2

，c=1，b=1，
∴曲线E的方程为

x2

2

+y2=1　　…5′
（2）解：曲线E在点P（x₀，y₀）处的切线l的方程是

x0x

2

+y0y=1．…8′
（3）证明：直线m的方程为x₀（y-y₀）=2y₀（x-x₀），即2y₀x-x₀y-x₀y₀=0．
设点C关于直线m的对称点的坐标为D（m，n），
则

n m+1 =- x0 2y0 2y0• m-1 2 - x0n 2 -x0y0=0

，解得

m= 2x03+3x02-4x0-4 x02-4 n= 2x04+4x03-4x02-8x0 2y0(4-x02)

∴直线PD的斜率为k=

n-y0

m-x0

=

x04+4x03+2x02-8x0-8

2y0(-x03-3x02+4)

从而直线PD的方程为：y-y₀=

x04+4x03+2x02-8x0-8

2y0(-x03-3x02+4)

（x-x₀）
即x=

2y0(-x03-3x02+4)

x04+4x03+2x02-8x0-8

y+1，从而直线PD恒过定点A（1，0）．…16′

点评：本题考查椭圆的定义与标准方程，考查与椭圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．