Question

如图所示，锐角α和钝角β的始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于A、B两点，角α的终边与射线y=x（x≥0）重合，点B的纵坐标为

3

5

．
（1）求sin（β-α）；
（2）D为OB边上的一点，且AD=

37

5

，求△AOD的面积．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）根据三角函数的定义，求出相应的三角函数值，利用两角和与差的正弦公式，即可求出sin（β-α）的值；
（2）根据余弦定理，结合三角形面积公式即可得到结论．

解答： 解：（1）由已知A（

2

2

，

2

2

）．B（-

4

5

，

3

5

），
即cosα=sinα=

2

2

，cosβ=-

4

5

，sinβ=

3

5

，
则sin（β-α）=sinβcosα-cosβsinα=

3

5

×

2

2

-(-

4

5

)×

2

2

=

7 2

10

；
（2）∵AD=

37

5

，AO=1，cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=-

2

10

；
∴由余弦定理得AD²=OA²+OD²-2OA•0Dcos（β-α），
即OD²+

2

5

OD-

12

25

=0，
解得OD=

2 2

5

或OD=-

3 2

5

（舍去），
则△AOD的面积为

1

2

OA•ODsin(β-α)=

7

25

．

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用两角和与差的正弦公式和余弦公式，以及三角形的面积公式，考查学生的计算能力．