Question

定义在R上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（

x

3

）=

1

2

f（x），且当0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），则f（

1

2014

）的值为（　　）

• A、

  1

  256

• B、

  1

  128

• C、

  1

  64

• D、

  1

  32

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：由已知f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（

x

3

）=

1

2

f（x），可以求出f（1）=1，及f（

1

3

）=f（

2

3

)=

1

2

，再反复利用f（

x

3

）=

1

2

f（x），得到f（

1

2187

）=f（

2

2187

）=

1

128

，最后利用当0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂）得到f（

1

2014

）=

1

128

．（因为不能利用f（1）=1及f（

x

3

）=

1

2

f（x）直接求出f（

1

2014

），所以考虑利用两边夹的方法求f（

1

2014

）．）

解答： 解：由f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，可得f（0）+f（1-0）=1，所以f（1）=1，
因为f（

x

3

）=

1

2

f（x），所以f(

1

3

)=

1

2

，f(

2

3

)=

1

2

且f（x）=2f（

x

3

）=2²f（

x

32

）=2³f（

x

33

）=…=2ⁿf（

x

3n

），
所以f(

1

3

)=2⁶f（

1

37

）=2⁶f（

1

2187

），同理f（

2

3

）=2⁶f(

2

37

)=2⁶f（

2

2187

），
所以f（

1

2187

）=f（

2

2187

）=

1

128

，
又因为

1

2187

＜

1

2014

＜

2

2187

，由已知，所以f(

1

2187

)≤f(

1

2014

)≤f(

2

2187

)，
所以f(

1

2014

)=

1

128

．
故选B

点评：这道题考查了抽象函数，运用了赋值法、迭代法、两边夹的性质求解，对学生的逻辑推理能力有很高的要求，有一定难度．