Question

已知数列{a_n}，{b_n}，满足a₁=2，2a_n=1+a_n•a_n+1，b_n=a_n-1（b_n≠0）．
（Ⅰ）求证数列{

1

bn

}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=b_nb_n+1，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由2a_n=1+a_n•a_n+1，b_n=a_n-1（b_n≠0）得

1

bn+1

-

1

bn

=1（n∈N^*），即可得出结论；
（Ⅱ）利用裂项相消法求得数列的和即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵b_n=a_n-1∴a_n=b_n+1，
又∵2a_n=1+a_n•a_n+1，
∴2（b_n+1）=1+（b_n+1）（b_n+1+1），
化简得：b_n-b_n+1=b_nb_n+1，
∵b_n≠0，∴

1

bn+1

-

1

bn

=1（n∈N^*），
又

1

b1

=

1

a1-1

=

1

2-1

=1，
∴数列{

1

bn

}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴

1

bn

=1+（n-1）×1=n，∴b_n=

1

n

，
∴a_n=

1

n

+1=

n+1

n

；
（Ⅱ）由题意得c_n=b_nb_n+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题主要考查等差数列的定义、通项公式及裂项法求数列和知识，考查学生的运算求解能力，属中档题．