题目内容

已知F1，F2分别是椭圆C1：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的左、右焦点，O为坐标原点．
（Ⅰ）若椭圆C1与双曲线C2：
y2
3
-
x2
1
=1的离心率互为倒数，求此时实数a的值；
（Ⅱ）若直线l经过点F1和点（0，1），且原点到直线l的距离为
2
2
；又另一条直线m，斜率为1，与椭圆C1交于E，F两点，
OE
⊥
OF
，求直线m的方程；
（Ⅲ）若在直线x=
a2
a2-1
上存在点P，使线段PF1的中点M
MF2
⊥
PF1
．求实数a的取值范围．
考点：圆锥曲线的综合,直线与圆锥曲线的关系
专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）求出双曲线的离心率，可得椭圆的离心率，再由离心率公式，可得a=2；
（Ⅱ）设F1（-c，0），直线l的方程为x-cy+c=0，由点到直线的距离公式，可得c，进而得到椭圆方程，设直线m：y=x+d，代入椭圆方程，应用韦达定理，及向量垂直的条件，即可得到d，进而得到直线方程；
（Ⅲ）设F1（-c，0），F2（c，0），P（
a2
c
，t），求出向量的坐标，再由
MF2
⊥
PF1
，运用数量积为0，再由
t2
2
≥0，解不等式即可得到a的范围．
解答： 解：（Ⅰ）双曲线C2：
y2
3
-
x2
1
=1的离心率为e2=
3+1
3
=
2
3
，
则椭圆C1：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的离心率e1=
1
e2
=
3
2
，
即有
a2-1
a
=
3
2
，解得，a=2；
（Ⅱ）设F1（-c，0），直线l的方程为x-cy+c=0，
则d=
|c|
1+c2
=
2
2
，则c=1，a2=b2+c2=2，
则椭圆方程为
x2
2
+y2=1，
设直线m：y=x+d，代入椭圆方程，消去y，得，3x2+4dx+2d2-2=0，
由直线m与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），
则△=16d2-12（2d2-2）＞0，解得d2＜3，
又x1+x2=-
4d
3
，x1x2=
2d2-2
3
，
由于OE⊥OF，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（x1+d）（x2+d）=0，
即
4d2-4
3
-
4d2
3
+d2=0，解得，d2=
4
3
＜3，即有d=±
2
3
3
，
则直线m的方程为y=x±
2
3
3
；
（Ⅲ）设F1（-c，0），F2（c，0），
P（
a2
c
，t），
F1P
=（
a2
c
+c，t），中点M（
a2-c2
2c
，
t
2
），
F2M
=（
a2-c2
2c
-c，
t
2
）=（
a2-3c2
2c
，
t
2
），
由于
MF2
⊥
PF1
，则
a2+c2
c
×
a2-3c2
2c
+
t2
2
=0，
则
t2
2
=
(a2+c2)(a2-3c2)
2c2
=
(2a2-1)(2a2-3)
2(a2-1)
≥0，
由于a＞1，则（2a2-1）（2a2-3）≥0，
即有a2≥
3
2
，解得，a≥
6
2
．
点评：本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立．消去未知数，应用韦达定理，考查平面向量的垂直的条件，考查化简运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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方程|x2-1|+1=2x解的个数为（　　）
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．
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m
与
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m
=
 
．
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1
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•
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+
AP1
•
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•
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29
4
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91
10
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197
18
 ④
232
33
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A、1个B、2个C、3个D、4个
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π
3
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2
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1
4
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2
．
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