Question

设函数f(x)=cos(?x+

π

3

)•sin(?x-

π

2

)+cos2?x-

1

4

（?＞0）图象上的相邻的最高点与最低点之间的距离为

2

．
（1）求?的值及单调递增区间；
（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且b+c=2，A=

π

3

，求f（a）的值域．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）先化简求得解析式f（x）=

1

2

sin（2ωx+

π

6

），由周期公式可求得ω的值，由正弦函数的图象和性质可求得单调递增区间；
（2）由余弦定理可求得a²=4-3bc，由2=b+c≥2

bc

可求得1≤a≤2，由f（a）=

1

2

sin（πa+

π

6

），从而求得f（a）的值域．

解答： 解：（1）f（x）=

1

2

sin（2ωx+

π

6

），…（2分）
由条件，T=2=

2π

2ω

⇒ω=

π

2

．
∴f(x)=

1

2

sin(πx+

π

6

)…（4分）
令2kπ-

π

2

≤(πx+

π

6

)≤2kπ+

π

2

，k∈Z…（5分）
解得单调递增区间：[2k-

2

3

，2k+

1

3

]k∈Z…（6分）
（2）由余弦定理：∵A=

π

3

∴a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=4-3bc…（7分）
又2=b+c≥2

bc

⇒0＜bc≤1，故1≤a²＜4，
又2=b+c＞a，故1≤a≤2     …（9分）
由f（a）=

1

2

sin（πa+

π

6

），

7π

6

≤πa+

π

6

＜

13π

6

，所以f（a）的值域为[-

1

2

，

1

4

]．…（12分）

点评：本题主要考查了余弦定理的应用，三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，考查了转化思想，属于中档题．