Question

已知命题P：函数f（x）=a^-x在定义域（-∞，+∞）上单调递增； 命题Q：不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0对任意实数x恒成立．
（1）若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围；
（2）已知函数f（x）=a^-x在定义域（-∞，+∞）上单调递增，且m∈（-∞，+∞），写出命题：“若m+1＞0，则f（m）+f（1）＞f（-m）+f（-1）”的逆命题．否命题．逆否命题，并分别判断逆命题．否命题．逆否命题的真假（不要证明）．

Answer 1

考点：复合命题的真假,四种命题

专题：简易逻辑

分析：（1）先化简p，q，然后由P∨Q是真命题，则p真q真可得a的范围，（2）根据定义写出四种命题，并判断真假即可．

解答： 解∵（1）命题P函数f（x）=a^-x在定义域上单调递增；
∴0＜a＜1，
又∵命题Q不等式（a-2）x²+2（a-2）x-4＜0对任意实数x恒成立；
∴a=2，
或

a-2＜0 △=4(a-2)2+16(a-2)＜0

，∴-2＜a＜2…（4分）
即-2＜a≤2…（5分）
∵P∨Q是真命题，∴a的取值范围是-2＜a≤2…（6分）
（2）原命题：已知函数f（x）=a^-x在定义域（-∞，+∞）上单调递增，且m∈（-∞，+∞），若m+1＞0，则f（m）+f（1）＞f（-m）+f（-1）
逆命题：已知函数f（x）=a^-x在定义域（-∞，+∞）上单调递增，且m∈（-∞，+∞），若f（m）+f（1）＞f（-m）+f（-1），则m+1＞0
真命题…（8分）
否命题：已知函数f（x）=a^-x在定义域（-∞，+∞）上单调递增，且m∈（-∞，+∞），若m+1≤0，则f（m）+f（1）≤f（-m）+f（-1）
真命题…（10分）
逆否命题：已知函数f（x）=a-^x在定义域（-∞，+∞）上单调递增，且m∈（-∞，+∞），若f（m）+f（1）≤f（-m）+f（-1），则m+1≤0
真命题…．（12分）

点评：本题考查复合命题的真假判断和四种命题，属于基础型题目，要注意对命题形式的把握．