题目内容
若在边长为1的正三角形ABC的边BC上有n（n∈N*，n≥2）等分点，沿向量
的方向依次为P1，P2，…，Pn，记Tn=
•
+
•
+…+
•
，若给出四个数值：①
②
③
④
，则Tn的值不可能共有（ ）
| BC |
| AB |
| AP1 |
| AP1 |
| AP2 |
| APn-1 |
| AC |
| 29 |
| 4 |
| 91 |
| 10 |
| 197 |
| 18 |
| 232 |
| 33 |
| A、1个 | B、2个 | C、3个 | D、4个 |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：利用平面向量的数量积运算求得，
•
=1-
+
，（k=1，2，…，n-1，k∈N），再由数列的求和知识即可得到Tn，再对选项加以判断，解方程即可得到．
| APk |
| APk+1 |
| 2k+1 |
| 2n |
| k2+k |
| n2 |
解答：
解：根据题意，结合向量的运算，得
•
=（
+k
）•[
+(k+1)
]
=
2+（2k+1）
•
+k（k+1）
2
=1-
+
，（k=1，2，…，n-1，k∈N），
∴Tn=
•
+
•
+…+
•
=
•
+（n-1）-
+
=1-
+n-1-
+
=
，
∴Tn=
•
+
•
+…+
•
=
，
令
=
，得n=
∉N，
令
=
，得n=
∉N，
令
=
，得n=
∉N，
令
=
，得n=
∉N，
∴Tn的值不可能共有4个，
故选：D．
| APk |
| APk+1 |
| AB |
| BP1 |
| AB |
| BP1 |
=
| AB |
| AB |
| BP1 |
| BP1 |
=1-
| 2k+1 |
| 2n |
| k2+k |
| n2 |
∴Tn=
| AB |
| AP1 |
| AP1 |
| AP2 |
| APn-1 |
| AC |
=
| AB |
| AP1 |
| 3+5+7+…+(2n-1) |
| 2n |
| (1+1)+(22+2)+…+(n2-n) |
| n2 |
=1-
| 1 |
| 2n |
| (n-1)(n+1) |
| 2n |
| ||||
| n2 |
=
| 5n2-2 |
| 6n |
∴Tn=
| AB |
| AP1 |
| AP1 |
| AP2 |
| APn-1 |
| AC |
| 5n2-2 |
| 6n |
令
| 5n2-2 |
| 6n |
| 29 |
| 4 |
87±
| ||
| 20 |
令
| 5n2-2 |
| 6n |
| 91 |
| 10 |
273±
| ||
| 50 |
令
| 5n2-2 |
| 6n |
| 197 |
| 18 |
197±
| ||
| 30 |
令
| 5n2-2 |
| 6n |
| 232 |
| 33 |
464±
| ||
| 110 |
∴Tn的值不可能共有4个，
故选：D．
点评：本题重点考查了平面向量的加法和减法、向量的数量积运算等知识，属于难题．
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