Question

已知函数f（x）=sinωx+cos（ωx+

π

6

），其中x∈R，ω＞0．
（1）当ω=1时，求f（

π

3

）的值；
（2）当f（x）的最小正周期为π，求f（x）在区间[0，

π

4

]上取得最大值时x的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）根据ω=1，得到函数f（x）=sinx+cos（x+

π

6

），然后，直接求解f（

π

3

）的值；
（2）首先，化简函数f（x）=sin（ωx+

π

3

），然后，结合周期公式，得到ω=2，再结合x∈[0，

π

4

]，从而求解相应的x的值．

解答： 解（1）∵ω=1，
∴函数f（x）=sinx+cos（x+

π

6

），
∴f（

π

3

）=sin

π

3

+cos（

π

3

+

π

6

）=

3

2

+0=

3

2

，
∴f（

π

3

）的值

3

2

；
（2）∵函数f（x）=sinωx+cos（ωx+

π

6

）
=

1

2

sinωx+

3

2

cosωx
=sin（ωx+

π

3

），
∵T=

2π

ω

=π，
∴ω=2，
∴f（x）=sin（2x+

π

3

），
∵x∈[0，

π

4

]，
∴（2x+

π

3

）∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴当2x+

π

3

=

π

2

时，即x=

π

12

时，f（x）在区间[0，

π

4

]上取得最大值1．

点评：本题主要考查了简单角的三角函数值的求解方法，两角和与差的正弦、余弦公式，三角函数的图象与性质等知识，考查了运算求解能力，属于中档题．