Question

已知p：直线x-y+m=0与圆x²+y²-2x-4y+3=0没有公共点．q：不等式x-

1

x

-m≥0对于任意x∈[2，3]恒成立．若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：首先，求解给定命题为真命题时，相应的实数m的取值情况，然后，结合p或q为真命题，p且q为假命题，故得到：p和q一真一假，最后，分两种情形进行讨论，得到实数m的取值范围．

解答： 解：对于命题p：圆的方程可化为（x-1）²+（y-2）²=2其圆心为（1，2）半径为

2

．
故

|1-2+m|

2

＞

2

解得m＞3或m＜-1．
对于命题q：分离得m≤x-

1

x

对x∈[2，3]恒成立，
由y=x-

1

x

在[2，3]上单调递增知道m≤

3

2

．
∵p或q为真命题，p且q为假命题，
∴p和q一真一假，
①当p真q假时，
即

m＞3或m＜-1 m＞ 3 2

，
解得m＞3，
②当p假q真时，
得  

-1≤m≤3 m≤ 3 2

，
解得-1≤m≤

3

2

，
∴所求m的取值范围是[-1，

3

2

]∪（3，+∞）．

点评：本题综合考查了复合命题及其真假判断，分类讨论思想在求解简易逻辑问题中的应用，属于中档题．