Question

已知点P（4，a）（a＞0）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，P点到抛物线C的焦点F的距离为5．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知圆E：x²+y²=2x，过圆心E作直线l与圆E和抛物线C自上而下依次交于A、B、C、D，如果|AB|+|CD|=2|BC|，求直线l的方程；
（Ⅲ）过点Q（4，2）的任一直线（不过P点）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线y=x+4交于点M，记直线PA、PB、PM的斜率分别为k₁、k₂、k₃，问是否存在实数λ，使得k₁+k₂=λk₃，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出4+

p

2

=5，由此能求出抛物线C的方程．
（Ⅱ）圆E：（x-1）²+y²=1，设l的方程为x=my+1，联立

y2=4x x=my+1

，得y²-4my-4=0，由此能求出l的方程．
（Ⅲ）设AB的方程为y-2=k（x-4），由

y-2=k(x-4) y2=4x

，得ky²-4y+8-16k=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由此能推导出存在实数λ，使得k₁+k₂=λk₃，且λ=2．

解答： 解：（Ⅰ）点P（4，a）（a＞0）在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，
P点到抛物线C的焦点F的距离为5，
∴4+

p

2

=5，∴p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x．
（Ⅱ）圆E：（x-1）²+y²=1，设l的方程为x=my+1，
联立

y2=4x x=my+1

，得y²-4my-4=0，
∴

△=16m+16＞0 y1+y2=4m y1•y2=-4

，
∴|AB|+|CD|=|AD|-|BC|，∴|AD|=3|BC|=6，
即

1+m2

|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=4

m2+1

，
∴4（m²+1）=6，∴m=±

2

2

，
∴l的方程

2

x-y-

2

=0或

2

x+y-

2

=0．
（Ⅲ）∵直线AB的斜率存在，设AB的方程为y-2=k（x-4），
由

y-2=k(x-4) y2=4x

，得ky²-4y+8-16k=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y1+y2=

4

k

，y1y2=

8-16k

k

，
∴k1=

y1-4

x1-4

=

y1-4

y12 4 -4

=

4

y1+4

，
∴k₂=

4

y2+4

，
k₁+k₂=

4

y1+4

+

4

y2+4

=

4(y1+y2)+32

y1y2+4(y1+y2)+16

=

4× 4 k +32

8-16k k +4× 4 k +16

=

32k+16

8-16k+16+16k

=

4k+2

3

，
由

y-2=k(x-4) y=x+4

，得xM=

4k+2

k-1

，yM=

8k-2

k-1

，
∴k3=

8k-2 k-1 -4

4k+2 k-1 -4

=

2k+1

3

，
∴k₁+k₂=2k₃．
∴存在实数λ，使得k₁+k₂=λk₃，且λ=2．

点评：本题考查抛物线方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数值是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．