Question

4．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的一条渐进线平行，并交抛物线于A、B两点，若|AF|＞|BF|，且|AF|=2，则抛物线的方程为y²=2x．

Answer 1

分析 根据抛物线的定义和双曲线的定义，不妨设直线AB为y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），设A（x₀，y₀）得到|AF|=x₀+$\frac{p}{2}$，表示出x₀，y₀，代入到抛物线的解析式，求出p的值，需要验证．

解答 解：抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的坐标为（ $\frac{p}{2}$，0），准线方程为x=-$\frac{p}{2}$，
双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的渐近线方程为y=$\sqrt{3}$x，
由于过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F的直线与双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的一条渐近线平行，
并交抛物线于A，B两点，
不妨设直线AB为y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$），设A（x₀，y₀），
∴|AF|=x₀+$\frac{p}{2}$，
∵|AF|＞|BF|，且|AF|=2，
∴x₀=2-$\frac{p}{2}$，x₀＞$\frac{p}{2}$，
∴0＜p＜2
∴y₀=$\sqrt{3}$（2-p），
∴3（2-p）²=2p（2-$\frac{p}{2}$），
整理得p²-4p+3=0，
解的p=1或p=3（舍去），
故抛物线的方程为y²=2x，
故答案为：y²=2x．

点评 本题考查了直线和抛物线的关系，以及抛物线和双曲线的定义和性质，属于中档题．