Question

11．已知函数f（x）=x²+（a+8）x+a²+a-12（a＜0），且f（a²-4）=f（2a-8），则$\frac{{f（n）-{n^2}-a}}{{n-2\sqrt{2}}}（n∈{N^*}）$的最大值为（　　）

• A． $48+32\sqrt{2}$
• B． $10+5\sqrt{2}$
• C． $96+64\sqrt{2}$
• D． $-6-6\sqrt{2}$

Answer 1

分析 求出f（x）的对称轴，由题意可得a²-4=2a-8或a²-4+2a-8=2×（-$\frac{a+8}{2}$），解得a的值，取负的，化简可得f（x）的解析式，即有f（n），代入由基本不等式，注意n为正整数，计算即可得到所求最小值．

解答 解：函数f（x）=x²+（a+8）x+a²+a-12（a＜0）的对称轴为x=-$\frac{a+8}{2}$，
由题意可得a²-4=2a-8或a²-4+2a-8=2×（-$\frac{a+8}{2}$），解得a=1或a=-4，
由a＜0，可得a=-4，f（x）=x²+4x，即有f（n）=n²+4n，
∴$\frac{f（n）-{n}^{2}-a}{n-2\sqrt{2}}=\frac{4n+4}{n-2\sqrt{2}}=4+\frac{4+8\sqrt{2}}{n-2\sqrt{2}}$，
函数h（n）=$\frac{8\sqrt{2}+4}{n-2\sqrt{2}}$在[3，+∞），[1，2]递减，
∴n=3时，$\frac{{f（n）-{n^2}-a}}{{n-2\sqrt{2}}}（n∈{N^*}）$有最大值为48+32$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查二次函数解析式的求法，注意运用对称性，考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，考查运算能力，属中档题．