Question

9．已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），A，B为抛物线上不重合的两动点，A，B的中点Q，O为坐标原点，$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=-4$，过A，B作抛物线的切线l₁，l₂，直线l₁，l₂交于点M；
（1）求抛物线的方程；
（2）问：直线AB是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由；
（3）求线段QM距离的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出p即可求解抛物线方程．
（2）设AB方程为y=kx+t（k显然存在），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$⇒x2-4kx-4=0，（△＞0恒成立），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韦达定理以及判别式通过$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=-4$，得l_AB：y=kx+2，得到直线AB过定点T（0，2）．
（3）过A、B的切线方程分别为x₁x=2（y₁+y）…①，x₂x=2（y₂+y）…②
由（2）得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-8…③
由①②③得M（2k，-2），易得Q（2k，2k²+2），可得MQ=$\sqrt{（2{k}^{2}+4）^{2}}≥4$，即可得到所求最小值．

解答 解：（1）∵抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），∴p=1，
∴抛物线的方程为x²=4y．
（2）∵F（0，1），设AB方程为y=kx+t（k显然存在），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+t}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$⇒x2-4kx-4t=0，（△＞0恒成立）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4t
由$\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=-4$得${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}={x}_{1}{x}_{2}+\frac{{（x}_{1}{x}_{2}）^{2}}{16}=-4$，
即t²-4t+4=0，
∴t=2，∴l_AB：y=kx+2，故直线AB过定点T（0，2）．
（3）过A、B的切线方程分别为x₁x=2（y₁+y）…①，x₂x=2（y₂+y）…②
由（2）得）x₁+x₂=4k，x₁x₂=-8…③
由①②③得M（2k，-2），
易得Q（2k，2k²+2），
∴MQ=$\sqrt{（2{k}^{2}+4）^{2}}≥4$，
∴当k=0时，|QM|_min=4．

点评 通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．