题目内容

已知非零向量
a
，
b
，满足|
a
|=1且（
a
-
b
）•（
a
+
b
）=
1
2
．
（1）若
a
•
b
=
1
2
，求向量
a
，
b
的夹角；
（2）在（1）的条件下，求|
a
-
b
|的值．
考点：平面向量的综合题
专题：计算题,平面向量及应用
分析：（1）先求出|
b
|=
2
2
，再利用向量的数量积公式，即可求向量
a
，
b
的夹角；
（2）先求|
a
-
b
|2，再求|
a
-
b
|的值．
解答： 解：（1）∵|
a
|=1且（
a
-
b
）•（
a
+
b
）=
1
2
，
∴|
b
|=
2
2
，
∵
a
•
b
=
1
2
，
∴向量
a
，
b
的夹角的余弦为
2
2
，
∴向量
a
，
b
的夹角为45°；
（2）∵|
a
-
b
|2=1+
1
2
-2×
1
2
=
1
2
，
∴|
a
-
b
|=
2
2
．
点评：本题考查向量的数量积公式，考查向量夹角的计算，比较基础．
练习册系列答案
相关题目
如果不等式
2x2+2mx+m
4x2+6x+3
＜1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是（　　）
A、（1，3）
B、（-∞，3）
C、（-∞，1）∪（2，+∞）
D、（-∞，+∞）
函数f（x）=x3-ax2+1，是否存在实数a，使f（x）在区间[0，
3
3
]上为减函数，且在区间（
3
3
，1]上是增函数？并说明理由．
阅读材料，解答问题．
例：用图象法解一元二次不等式x2-2x-3＞0．
解：设y=x2-2x-3，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．
又当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3．
由此得抛物线y=x2-2x-3的大致图象如图所示：
观察函数图象可知：当x＜-1或x＞3时，y＞0．
∴x2-2x-3＞0的解集是：x＜-1或x＞3．
（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2-2x-3＜0的解集是
 
；
（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2-ax-2a2＞0
（3）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：ax2-（a+2）x+2＞0．
已知椭圆C的焦点是F1（-2
2
，0），F2（2
2
，0），其上的动点P满足|PF1|+|PF2|=4
3
．点O为坐标原点，椭圆C的下顶点为R．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ） 设直线l1：y=x+2与椭圆C的交于A，B两点，求过O，A，B三点的圆的方程；
（Ⅲ）设过点（0，1）且斜率为k的直线l2交椭圆C于M，N两点，试证明：无论k取何值时，
RM
•
RN
恒为定值．
已知向量
a
=（λ，1），
b
=（λ+2，1），若|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，则实数λ=
 
．
已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x）+f（1-x）=
1
2
；
（1）求f（
1
2
），f（
1
n
）+f（
n-1
n
）（n∈N*）的值；
（2）若数列{an}满足an=f（0）+f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）+f（1），那么数列{an}是等差数列吗？试证之；
（3）在（2）的条件下，设bn=4an-1，cn=bnqn-1（q≠0，n∈N*）求数列{cn}的前n项和Tn．
已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x-1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C
（1）求C的方程；
（2）直线l是过曲线C的右焦点，且斜率为2的直线，该直线与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．
设P为△ABC內的一点，且
AP
=
2
5
AB
+
1
5
AC
．
（1）求△PBC与△ABC的面积之比；
（2）设
PA
=x
PB
+y
PC
，求实数x，y的值．

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