题目内容
已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x-1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C
（1）求C的方程；
（2）直线l是过曲线C的右焦点，且斜率为2的直线，该直线与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．
（1）求C的方程；
（2）直线l是过曲线C的右焦点，且斜率为2的直线，该直线与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程,圆与圆的位置关系及其判定
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由两圆相外切得到|MP|=1+r，由⊙N与⊙P内切 得到|NP|=3-r，从而有根据|MP|+|NP|=4＞|MN|=2，椭圆的定义可得P点的轨迹是以N，M为焦点的椭圆，求出a、b2的值，即得C的方程．
（2）求出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t的范围求得|AB|即可．
（2）求出直线的方程，代入椭圆方程中消去y，利用弦长公式求得|AB|的表达式，利用t的范围求得|AB|即可．
解答：
解：（1）设点P（x，y），动圆P的半径为r，
∵⊙N与⊙P内切，∴|NP|=3-r，
∵⊙M与⊙P外切，∴|MP|=1+r，
∵|MP|+|NP|=4＞|MN|=2，
∴P点的轨迹是以M，N为焦点的椭圆．|MP|+|NP|=4=2a，∴a=2，
∵|MN|=2c=2，c=1，
∴b2=a2-c2=3，
∴P的轨迹方程为：
+
=1．
（2）直线l的方程为y=2x-2，代入
+
=1，消去y得19x2-32x+4=0，
x1+x2=
，x1•x2=
．
∴|AB|=
•
=
．
∵⊙N与⊙P内切，∴|NP|=3-r，
∵⊙M与⊙P外切，∴|MP|=1+r，
∵|MP|+|NP|=4＞|MN|=2，
∴P点的轨迹是以M，N为焦点的椭圆．|MP|+|NP|=4=2a，∴a=2，
∵|MN|=2c=2，c=1，
∴b2=a2-c2=3，
∴P的轨迹方程为：
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）直线l的方程为y=2x-2，代入
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
x1+x2=
| 32 |
| 19 |
| 4 |
| 19 |
∴|AB|=
| 1+22 |
(
|
| 60 |
| 19 |
点评：本题主要考查了椭圆的应用，直线与椭圆的关系．弦长的求法常需要把直线与椭圆方程联立，考查分析问题解决问题的能力．
练习册系列答案
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已知椭圆C：