题目内容
已知椭圆C的焦点是F1（-2
，0），F2（2
，0），其上的动点P满足|PF1|+|PF2|=4
．点O为坐标原点，椭圆C的下顶点为R．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ） 设直线l1：y=x+2与椭圆C的交于A，B两点，求过O，A，B三点的圆的方程；
（Ⅲ）设过点（0，1）且斜率为k的直线l2交椭圆C于M，N两点，试证明：无论k取何值时，
•
恒为定值．
| 2 |
| 2 |
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ） 设直线l1：y=x+2与椭圆C的交于A，B两点，求过O，A，B三点的圆的方程；
（Ⅲ）设过点（0，1）且斜率为k的直线l2交椭圆C于M，N两点，试证明：无论k取何值时，
| RM |
| RN |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（Ⅰ）由|PF1|+|PF2|=4
，得2a=4
，再由2c=4
，能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）联立
，得x2+3x=0，从而A（0，2），B（-3，-1），设所求圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，由此能求出圆的方程．
（Ⅲ）设l2：y=kx+1，联立
，得（1+3k2）x2+6kx-9=0，点（0，1）在椭圆C内，得△＞0恒成立．由此利用韦达定理和向量数量积能证明
•
=0为定值．
| 3 |
| 3 |
| 2 |
（Ⅱ）联立
|
（Ⅲ）设l2：y=kx+1，联立
|
| RM |
| RN |
解答：
（Ⅰ）解：∵|PF1|+|PF2|=4
，
∴2a=4
，
∵2c=4
，∴a2=12，b2=a2-c2=4，
∴椭圆C的标准方程为
+
=1．
（Ⅱ）解：联立方程得
，得x2+3x=0，
解得x1=0，x2=-3，∴A（0，2），B（-3，-1），
设所求圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，
依题有F=0，4+2E+F=0，10-3D-E+F=0，
解得D=4，E=-2，F=0，
所以所求圆的方程为：x2+y2+4x-2y=0．
（Ⅲ）证明：设l2：y=kx+1，
联立方程组
，得（1+3k2）x2+6kx-9=0，
∵点（0，1）在椭圆C内，∴△＞0恒成立．
设M（x1，kx1+1），N（x2，kx2+1），
则x1+x2=
，x1x2=
，R（0，-2），
=(x1，kx1+3)，
=(x2，kx2+3)，
•
=x1•x2+(kx1+3)(kx2+3)
=（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9
=(1+k2)×
+3k×
+9
=
+
+9
=
+9=-9+9=0，
∴
•
=0为定值．
| 3 |
∴2a=4
| 3 |
∵2c=4
| 2 |
∴椭圆C的标准方程为
| x2 |
| 12 |
| y2 |
| 4 |
（Ⅱ）解：联立方程得
|
解得x1=0，x2=-3，∴A（0，2），B（-3，-1），
设所求圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，
依题有F=0，4+2E+F=0，10-3D-E+F=0，
解得D=4，E=-2，F=0，
所以所求圆的方程为：x2+y2+4x-2y=0．
（Ⅲ）证明：设l2：y=kx+1，
联立方程组
|
∵点（0，1）在椭圆C内，∴△＞0恒成立．
设M（x1，kx1+1），N（x2，kx2+1），
则x1+x2=
| -6k |
| 1+3k2 |
| -9 |
| 1+3k2 |
| RM |
| RN |
| RM |
| RN |
=（1+k2）x1x2+3k（x1+x2）+9
=(1+k2)×
| -9 |
| 3k2+1 |
| -6k |
| 3k2+1 |
=
| -9-9k2 |
| 3k2+1 |
| -18k2 |
| 3k2+1 |
=
| -27k2-9 |
| 3k2+1 |
∴
| RM |
| RN |
点评：本题考查椭圆标准方程的求法，考查圆的方程的求法，考查向量的数量积为定值的证明，解题时要认真审题，注意向量数量积的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
已知O是三角形ABC的外心，AB=2，AC=5，若
=x
+y
，且x+4y=2，则三角形ABC的面积为（ ）
| AO |
| AB |
| AC |
A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
如图，设双曲线C1：