Question

已知函数f（x）是定义在[-3，3]上的奇函数，且f（x）在（0，1]是指数函数，在[1，3]上是二次函数，当1≤x≤3时f（x）≤f（2）=

3

2

，f（3）=

1

2

，求f（x）的解析式．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意，根据题意分段求出各段的解析式，再由奇偶性求对称区间上的解析式，从而解得．

解答： 解：（1）当1≤x≤3时，
f(x)≤f(2)=

3

2

，f(3)=

1

2

，
∴设f(x)=m(x-2)2+

3

2

，
∵f(3)=

1

2

∴m=-1，
∴f(x)=-(x-2)2+

3

2

(1≤x≤3)，
（2）当0＜x≤1时，
设f（x）=a^x且f(1)=

1

2

∴a=

1

2

，
∴f(x)=(

1

2

)x(0＜x≤1)，
f（x）是定义在[-3，3]上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），f（0）=0，
（3）当-1≤x＜0时，则0＜-x≤1，
f（x）=-f（-x）=-2^x，
（4）当-3≤x≤-1时，则1≤-x≤3，
f(x)=-f(-x)=(x+2)2-

3

2

，
∴f（x）=

(x+2)2- 3 2 ，-3≤x≤-1 -2x，-1≤x＜0 0，x=0 1 2x ，0＜x≤1 -(x-2)+ 3 2 ，1≤x≤3

．

点评：本题考查了函数解析式的求法，同时考查了分类讨论的数学思想应用，属于中档题．