Question

已知x，y，z＞0，并且

x2

1+x2

+

y2

1+y2

+

z2

1+z2

=2，求证：

x

1+x2

+

y

1+y2

+

z

1+z2

≤

2

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：构造三棱锥V-ABC中，VA，VB，VC两两垂直，高VO=1，设OA=x，OB=y，OC=z，∠OVA=α，∠OVB=β，∠OVC=γ，由条件推出得sin²α+sin²β+sin²γ=2，则cos²α+cos²β+cos²γ=1，即有

1

1+x2

+

1

1+y2

+

1

1+z2

=1，再由柯西不等式，即可得证．

解答： 证明：在三棱锥V-ABC中，VA，VB，VC两两垂直，高VO=1，
设OA=x，OB=y，OC=z，∠OVA=α，∠OVB=β，∠OVC=γ，
VA²=1+x²，VB²=1+y²，VC²=1+z²，
由

x2

1+x2

+

y2

1+y2

+

z2

1+z2

=2，得sin²α+sin²β+sin²γ=2，
则cos²α+cos²β+cos²γ=1，即有

1

1+x2

+

1

1+y2

+

1

1+z2

=1，
由柯西不等式（

x2

1+x2

+

y2

1+y2

+

z2

1+z2

）（

1

1+x2

+

1

1+y2

+

1

1+z2

）
≥（

x

1+x2

•

1

1+x2

+

y

1+y2

•

1

1+y2

+

z

1+z2

•

1

1+z2

）²，
则

x

1+x2

+

y

1+y2

+

z

1+z2

≤

2

成立．

点评：本题考查不等式的证明，考查运用柯西不等式证明不等式，但必须构造三棱锥证得一个等式，具有一定的难度．