Question

函数f（x）=lnx-

1

2

ax²+x有极值且极值大于0，则a的取值范围是（　　）

• A、（0，1）
• B、（1，2）
• C、（0，2）
• D、（3，4）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：f′(x)=

1

x

-ax+1=

-ax2+x+1

x

，（x＞0）．对a分类讨论，当a≤0时，当△＞0，a＞0时，a＞0．令f′（x）=0，解得x=

1+ 1+4a

2a

．由于函数f（x）=lnx-

1

2

ax²+x有极值且极值大于0，因此x=

1+ 1+4a

2a

是函数f（x）的唯一极大值点．可得f(

1+ 1+4a

2a

)＞0．转化为解不等式lnx-

1

2

+

1

2

x＞0，再利用导数研究其单调性即可得出．

解答： 解：f′(x)=

1

x

-ax+1=

-ax2+x+1

x

，（x＞0）．
当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，此时函数无极值．
△=1+4a≤0满足a≤0．
当△＞0，a＞0时，a＞0．
f′（x）=

-a(x- 1- 1+4a 2a )(x- 1+ 1+4a 2a )

x

．
令f′（x）=0，解得x=

1+ 1+4a

2a

．
∵函数f（x）=lnx-

1

2

ax²+x有极值且极值大于0，
∴x=

1+ 1+4a

2a

是函数f（x）的唯一极大值点．
∴f(

1+ 1+4a

2a

)＞0．
∵满足ax²-x=1．
∴lnx-

1

2

+

1

2

x＞0，
令g（x）=lnx-

1

2

+

1

2

x，
g′（x）=

1

x

+

1

2

＞0，
∴函数g（x）在（0，+∞）单调递增，
而g（1）=0．
∴x＞1，
∴

1+ 1+4a

2a

＞1，
解得0＜a＜2．
故选：C．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了分类讨论的思想方法，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．