Question

关于x的方程x²+px+p=0在[0，2]上至少有一实根，求p的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由方程x²+px+p=0可得-p=

x2

x+1

=

1

1 x + 1 x2

，求出

1

x

+

1

x2

≥

3

4

，即可求出p的取值范围．

解答： 解：由方程x²+px+p=0可得-p=

x2

x+1

=

1

1 x + 1 x2

∵

1

x

+

1

x2

=（

1

x

+

1

2

）²-

1

4

，x∈（0，2]，
∴

1

x

+

1

x2

≥

3

4

，
∴0＜

1

1 x + 1 x2

≤

4

3

∴0＜-p≤

4

3

∴-

4

3

≤p＜0
x=0时，p=0，符合题意，
∴-

4

3

≤p≤0．

点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，考查学生的计算能力，属于中档题．