Question

如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD=6，BC=4，AB=2，E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使得平面ABEF⊥平面EFDC．

（Ⅰ）当BE=1，是否在折叠后的AD上存在一点P，且

AP

=λ

PD

，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A-CDF的体积有最大值？并求出这个最大值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）根据CP∥平面ABEF的性质，建立条件关系即可得到结论．
（Ⅱ）设BE=x，根据三棱锥的体积公式即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ） 若存在P，使得CP∥平面ABEF，此时λ=

3

2

：
证明：当λ=

3

2

，此时

AP

=

3

2

PD

，可得

AP

AD

=

3

5

，
过P作MP∥FD，与AF交M，
则

MP

FD

=

3

5

，
又PD=5，故MP=3，
∵EC=3，MP∥FD∥EC，
∴MP∥EC，且MP=EC，故四边形MPCE为平行四边形，
∴PC∥ME，
∵CP?平面ABEF，ME?平面ABEF，
故答案为：CP∥平面ABEF成立．
（Ⅱ）∵平面ABEF⊥平面EFDC，ABEF∩平面EFDC=EF，AF⊥EF，
∴AF⊥平面EFDC，
∵BE=x，∴AF=x，（0＜x＜4），FD=6-x，
故三棱锥A-CDF的体积V=

1

3

×

1

2

×2×(6-x)x=

1

3

[-(x-3)2+9]=-

1

3

(x-3)2+3，
∴x=3时，三棱锥A-CDF的体积V有最大值，最大值为3．

点评：本题主要考查直线和平面平行的性质和判定，以及三棱锥体积的计算，考查学生的推理能力．