Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，△PCD为等边三角形，BC=

2

AB，点M为BC中点，平面PCD⊥平面ABCD．
（1）求异面直线PD和AM所成角的余弦值；
（2）求二面角P-AM-D的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（1）取CD的中点O，连接OP，O为原点，过点O垂直CD的直线为x轴，OC为y轴，OP为z轴，利用向量法能求出异面直线PD和AM所成角的余弦值．
（2）分别求出平面ADM的法向量和平面PAM的法向量，利用向量法能求出二面角P-AM-D的大小．

解答： 解：（1）取CD的中点O，连接OP，
∵△PCD为等边三角形，∴OP⊥CD，
又平面PCD⊥平面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，…（2分）
以O为原点，过点O垂直CD的直线为x轴，OC为y轴，OP为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz．
∵BC=

2

AB，不妨设AB=2，则BC=2

2

，
依题意得：A（2

2

，-1，0），D（0，-1，0），
P（0，0，

3

），M（

2

，1，0），…（3分）
∴

PD

=(0，-1，-

3

)，

AM

=（-

2

，2，0），
从而

PD

•

AM

=-2，|

PD

|=2，|

AM

|=

6

，
∴cos＜

PD

，

AM

＞=

-2

2× 6

=-

6

6

．…（5分）
于是异面直线PD和AM所成角的余弦值为

6

6

．…（6分）
（2）∵OP⊥平面ABCD，∴

OP

=(0，0，

3

)是平面ADM的法向量，
设平面PAM的法向量为

n

=(x，y，z)，又

PA

=(2

2

，-1，-

3

)，
由

n • PA =2 2 x-y- 3 z=0 n • AM =- 2 x+2y=0

，令y=1，得

n

=（

2

，1，

3

），
∴cos＜

n

，

OP

＞=

3

6 × 3

=

2

2

，
∴二面角P-AM-D的大小为45°．

点评：本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．