Question

设F是抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，O为原点，M是抛物线C上位于第一象限内的内的点，Q为过O、M、F三点的圆的圆心，点Q到抛物线C的准线的距离为

3

4

，直线MQ与抛物线C相切于点M．
（1）求抛物线C的方程及点M的坐标；
（2）设直线l：y=kx+

1

4

与抛物线C相交于A、B两点，与圆Q相较于D、B两点，问：当k取何值时|AB|×|DE|的值最小？并求出这个最小值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）通过F（0，

p

2

），圆心Q在线段OF平分线y=

p

4

上，推出p=1，由此能求出抛物线C的方程．设M（x₀，

x02

2

），满足条件，抛物线C在点M处的切线的斜率为函数的导数，求出Q的坐标，再利用|QM|=|OQ|，求出M点坐标．
（2）（Ⅱ）⊙Q的方程为(x-

5 2

8

)2+(y-

1

4

)2=

27

32

．由

y= 1 2 x2 y=kx+ 1 4

，整理得2x²-4kx-1=0．由此求出|AB|²=（1+k²）（4k²+2）．由

(x- 5 2 8 )2+(y- 1 4 )2= 27 32 y=kx+ 1 4

，整理得（1+k²）x²-

5 2

4

x-

1

16

=0，由此求出|DE|²=

25

8(1+k2)

+

1

4

，从而能求出当k=0时，|AB|×|DE|的值最小，最小值是

3 3

2

．

解答： 解：（1）由题意可知F（0，

p

2

），
圆心Q在线段OF平分线y=

p

4

上，
因为抛物线C的标准方程为y=-

p

2

，
所以

3p

4

=

3

4

，即p=1，
因此抛物线C的方程x²=2y．
设点M（x₀，

x02

2

），（x₀＞0）满足条件，
抛物线C在点M处的切线的斜率为
y′| x=x0=（

x2

2

）′| x=x0=x₀．
令y=

1

4

得，x_Q=

x0

2

+

1

4x0

，
所以Q（

x0

2

+

1

4x0

，

1

4

），
又|QM|=|OQ|，
故（-

x0

4

+

1

4x0

）²+（

1

4

-

x02

2

）²=（

x0

2

+

1

4x0

）²+

1

16

，
因此（

1

4

-

x02

2

）²=

9

16

．又x₀＞0．
所以x₀=

2

，此时M（

2

，1）．
（Ⅱ）当x₀=

2

时，由（Ⅰ）知Q（

5 2

8

，

1

4

），⊙Q的半径为：r=

( 5 2 8 )2+( 1 4 )2

=

3 6

8

．所以⊙Q的方程为(x-

5 2

8

)2+(y-

1

4

)2=

27

32

．
由

y= 1 2 x2 y=kx+ 1 4

，整理得2x²-4kx-1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由于△=16k²+8＞0，x₁+x₂=2k，x₁x₂=-

1

2

，
所以|AB|²=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=（1+k²）（4k²+2）．
由

(x- 5 2 8 )2+(y- 1 4 )2= 27 32 y=kx+ 1 4

，整理得（1+k²）x²-

5 2

4

x-

1

16

=0，
设D，E两点的坐标分别为（x₃，y₃），（x₄，y₄），
由于△=

k2

4

+

27

8

＞0，x₃+x₄=

5 2

4(1+k2)

，x₃x₄=-

1

16(1+k2)

．
所以|DE|²=（1+k²）[（x₃+x₄）²-4x₃x₄]=

25

8(1+k2)

+

1

4

，
所以|AB|²×|DE|²=（1+k²）（4k²+2）×[

25

8(1+k2)

+

1

4

]
=

25(4k2+2)

8

+

(1+k2)(4k2+2)

4

=k⁴+14k²+

27

4

．
∴k²=0时，|AB|²×|DE|²取最小值

27

4

，
∴当k=0时，|AB|×|DE|的值最小，最小值是

3 3

2

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，设而不求的解题方法，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．