Question

在三棱锥A-BCD中，AB=BC=4，AD=BD=CD=2

2

，在底面BCD内作CE⊥CD，且CE=

2

．
（1）求证：CE∥平面ABD；
（2）如果二面角A-BD-C的大小为90°，求二面角C-AE-D的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由勾股定理得BD⊥CD，又CE⊥CD，从而CE∥BD，由此以证明CE∥平面ABD．
（2）以D为原点，DB、DC、DA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-AE-D的大小．

解答： （1）证明：∵BD=CD=2

2

，BC=4，
∴BD²+CD²=BC²，∴BD⊥CD，
∵CE⊥CD，∴CE∥BD，
又CE不包含于平面ABD，BD?平面ABD，
∴CE∥平面ABD．
（2）解：∵二面角A-BD-C的大小为90°，AD⊥BD，
∴AD⊥平面BDC，又由（1）知BD⊥CD，
以D为原点，DB、DC、DA分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，又CE⊥CD，
∴CE⊥面ACD，又CE?平面ACE，
∴平面ACE⊥平面ACD，设AC中点为F，
连结DF，则DF⊥AC，且DF=2，DF⊥ACE，
由（1）知BD=CD=AD=2

2

，
B（

2

，2

2

，0），C（0，2

2

，0），
A（0，0，2

2

），F（0，

2

，

2

），
∴平面ACE的法向量

DF

=(0，

2

，

2

)，
同理，取ADE的法向量

n

=(2，1，0)，
cos＜

n

，

DF

＞=

2

2 5

=

10

10

．
∴二面角C-AE-D的大小为arccos

10

10

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．