Question

9．已知函数$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）+sin（2x-\frac{π}{6}）+cos2x+1$
（1）求函数f（x）的最小正周期和函数的单调递增区间；
（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$f（A）=3，B=\frac{π}{4}，a=\sqrt{3}$，求AB．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）根据f（A）=3时，求解A，正弦定理求解b，再有余弦可得AB即c的值（或者求解sinC，正弦定理求解c）

解答 解：函数$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）+sin（2x-\frac{π}{6}）+cos2x+1$，
化解可得：f（x）=2sin2xcos$\frac{π}{6}$+cos2x+1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1．
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$得$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}（k∈Z）$，
故函数f（x）的单调递增区间$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]（k∈Z）$，
（2）∵$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1\;，\;\;f（A）=3$，
∴$2sin（2A+\frac{π}{6}）+1=3$$sin（2A+\frac{π}{6}）=1$，
∵0＜A＜π，
∴$\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{13π}{6}$，
∴$2A+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}，\;∴A=\frac{π}{6}$，
$sinC=sin[{π-（{A+B}）}]=sin（{A+B}）=sin（{\frac{π}{6}+\frac{π}{4}}）=\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}$，
在△ABC中，由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
即$\frac{{\sqrt{3}}}{{\frac{1}{2}}}=\frac{c}{{\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}}}$．
$c=\frac{{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{2}$，即$AB=c=\frac{{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}}{2}$．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，正余弦定理的运用和计算能力，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．