Question

已知抛物线y²=4x，点A为其上一动点，P为OA的中点（O为坐标原点），且点P恒在抛物线C上，
（1）求曲线C的方程；
（2）若M点为曲线C上一点，其纵坐标为2，动直线L交曲线C与T、R两点：
    ①证明：当动直线L恒过定点N（4，-2）时，∠TMR为定值；
    ②几何画板演示可知，当∠TMR等于①中的那个定值时，动直线L必经过某个定点，请指出这个定点的坐标．（只需写出结果，不必证明）

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用设P（x，y），则A（2x，2y），根据A在抛物线y²=4x上，可得结论；
（2）①求出M的坐标，分类讨论，利用向量知识，可得结论；②定点为N（4，-2）．

解答： （1）解：设P（x，y），则A（2x，2y）
∵A在抛物线y²=4x上，∴（2y）²=4（2x）即y²=2x
∴抛物线C的方程为y²=2x．------------------------------------------------（4分）
（2）①证明：∵M点为曲线C上一点，其纵坐标为2，
∴M（2，2）--------------------（5分）
当直线L垂直x轴即为x=4时，T(4，2

2

)，R(4，-2

2

)
此时，kMT•kMR=

2 2 -2

2

•

2 2 +2

-2

=-1，所以∠TMR=

π

2

．
∴可以猜∠TMR=

π

2

-------------------------------------------．（8分）
显然直线L不能与x轴平行，∴可以设直线L为x-4=m（y+2）T（x₁，y₁），R（x₂，y₂）
联立y²=2x得到y²-2my-4m-8=0，y₁+y₂=2m，y₁y₂=-4m-8-------------（10分）

MT • MR =(x1-2，y1-2)•(x2-2，y2-2) =(x1-2，)(x2-2)+(y1-2)(y2-2) =(my1+2m+2)(my2+2m+2)+(y1-2)(y2-2) =(m2+1)y1y2+(2m2+2m-2)(y1+y2)+(2m+2)2+4 =(m2+1)(-4m-8)+(2m2+2m-2)2m+(2m+2)2+4 =0

∴∠TMR=

π

2

--------------------------------------------------------（13分）
②定点为N（4，-2）---------------------------------------------------（14分）

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．