Question

已知圆C：x²+y²-2x+mx-4=0上的两点M、N关于直线2x+y=0对称，直线l：tx+y-t+1=0（t∈R）与圆C相交于A、B两点，则|AB|的最小值是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：直线与圆

分析：首先根据圆的对称性确定圆的方程，圆心C的坐标及半径，因为直线恒过定点D（1，-1），所以当直线与CD垂直时，所截得的弦长|AB|最短．

解答： 解：由圆的对称性可知，
直线2x+y=0经过圆C的圆心．
∵圆C的圆心是(1，-

m

2

)，
∴2-

m

2

=0
∴m=4．
∴圆心C（1，-2）
半径r=3．
∵直线l：tx+y-t+1=0（t∈R）可化为：
y+1=-t（x-1）
∴直线l恒过定点D（1，-1），
∴|CD|=1
由圆的性质易知，
AB⊥CD时，|AB|最短．
∴|AB|min=2

r2-|CD|2

=4

2

故答案为4

2

．

点评：本题考查圆的对称性，直线与圆相交的性质，以及过圆内一点的直线被圆所截得的弦长取最值等知识．