Question

17．已知函数f（x）=|x-a|（a∈R）．
（1）当a=1时，解不等式f（x）＜|2x-1|-1；
（2）当x∈（-2，1）时，|x-1|＞|2x-a-1|-f（x），求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）不等式即|2x-1|-|x-1|＞1，转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；
（2）由题意可得，当x∈（-2，1）时，|x-1|+|x-a|＞|2x-a-1|=|（x-a）+（x-1）|恒成立，可得（x-a）与（x-1）的符号相反，从而求得a的范围．

解答 解：（1）∵f（x）=|x-a|，当a=1时，不等式f（x）＜|2x-1|-1，
即|2x-1|-|x-1|＞1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＜\frac{1}{2}}\\{1-2x-（1-x）＞1}\end{array}\right.$ ①，或 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}≤x≤1}\\{2x-1-（1-x）＞1}\end{array}\right.$②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{2x-1-（x-1）＞1}\end{array}\right.$ ③．
解①求得x＜-1，解②求得x∈∅，解③求得x＞1．
综上可得，不等式的解集为{x|x＜-1，或x＞1}．
（2）∵当x∈（-2，1）时，|x-1|＞|2x-a-1|-f（x），
即|x-1|+|x-a|＞|2x-a-1|=|（x-a）+（x-1）|恒成立．
∴（x-a）与（x-1）的符号相反，
即x-a 与1-x的符号相同，∴a≤-2．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，属于中档题．